（2014•嘉定区一模）如图，正三棱锥A-BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求该三棱锥的体积V．

Question

（2014•嘉定区一模）如图，正三棱锥A-BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点．
（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求该三棱锥的体积V．

Answer 1

（1）取BD中点F，连结AF、EF，
因为EF∥CD，
所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角（或其补角）．  …（2分）
在△AEF中，AE＝AF＝2√(2)，EF=1，…（1分）
所以cos∠AEF＝((1)/(2))/(2√(2))＝(√(2))/(8)．    …（2分）
所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为arccos(√(2))/(8)．  …（1分）
（2）作AO⊥平面BCD，则O是正△BCD的中心，…（1分）
连结OE，OE＝(√(3))/(3)，…（1分）
所以AO＝√(AE2−EO2)＝√((23)/(3))，…（1分）
所以，V＝(1)/(3)•Sh＝(1)/(3)×(√(3))/(4)×4×√((23)/(3))＝(√(23))/(3)．  …（2分）