已知椭圆C：的左顶点为A，M、N是C上异于A的两点，且。（1）直线MN是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标；（2）求△AMN面积S的最大值。

Question

已知椭圆C： 的左顶点为A，M、N是C上异于A的两点，且 。
（1）直线MN是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标；
（2）求△AMN面积S的最大值。

Answer 1

（1）当直线MN的方程是y=h（h是常数）时，由点A是椭圆C的左顶点，知∠AMN＜90°，
而AM⊥AN，
所以可设MN：x=my+t（t≠-2），把它代入C的方程，得

又设M（x ₁ ，y ₁ ），N（x ₂ ，y ₂ ），得


由AM⊥AN，得

所以
MN：
得直线MN过定点 。
（2）由
得

其中
下面求z的最小值
设 得

因为当 时，z是增函数，
所以当且仅当 即m=0时，z取到最小值，
且最小值是 ，即当且仅当m=0时S取到最大值，且最大值是 。