紧急~已知A、B是三角形ABC的两个内角,a=根号2cosA+B/2i+sinA-B/2j（其中i、j是垂直单位的向量）,已知A、B是三角形ABC的两个内角,a=根号2cosA+B/2i+sinA-B/2j（其中i、j是垂直单位的向量）,若a的绝对值=6/

Question

紧急~已知A、B是三角形ABC的两个内角,a=根号2cosA+B/2i+sinA-B/2j（其中i、j是垂直单位的向量）,
已知A、B是三角形ABC的两个内角,a=根号2cosA+B/2i+sinA-B/2j（其中i、j是垂直单位的向量）,若a的绝对值=6/2
（1）试问tanA乘以tanB是否为定值,若是定值,请求出,否则说明理由
（2）求tanC的最大值,并判断此三角形的形状.

Answer 1

是这个题吧：
A,B是△ABC的内角,a=√2cos(A+B)/2i+sin(A-B)/2j, i,j为互相垂直的单位向量,
IaI=√6/2,
(1)问tanAtanB是否为定值 ,若为定值,请求出,若不为,请说明理由.
(2)求tanC的最大值,及此时三角形形状.
【解】
(1)
|a|^2=2[cos((A+B)/2)]^2+[sin((A-B)/2)]^2=(√6/2)^2,
即2[cos(A+B)/2]^2+[sin(A-B)/2]^2=3/2
从而得
cos(A+B)+1+[1-cos(A-B)]/2=3/2
2cos(A+B)-cos(A-B)=0
化简得：cosA*cosB-3sinAsinB=0,显然cosA*cosB≠0
cosA*cosB=3sinAsinB
sinAsinB/cosA*cosB=1/3
tanAtanB=1/3
(2)
tanC=-tan(A+B)
=-(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)
=-3(tanA+tanB)/2
因为A.B是锐角,
所以tanA,tanB都大于零,
利用基本不等式得tanA+tanB≥2√（tanA*tanB)=2√3 /3(当tanA=tanB,即A=B时取等号）
所以原式tanC=-3(tanA+tanB)/2 ≤-√3.
所以当A=B时tanC取最大值为-√3.
此时的∠C=120°.
∠A＝∠B＝30°.
所以为顶角为120°的等腰三角形