如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

Question

如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴(DF)/(ED)=(CF)/(CD)，
∵DE=DG，CD=BC，
∴(DF)/(DG)=(CF)/(BC)，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=(1)/(2)，
∴在Rt△DFC中，GF=(1)/(2)CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S_{四边形BCGF}=2S_△BCG=2×(1)/(2)×1×(1)/(2)=(1)/(2)．