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已知Rt△ABC≌Rt△ADE,其中∠ACB=∠AED=90°.(1)将这两个三角形按图①方式摆放,使点E落在AB上,DE的延长线交BC于点F.求证:BF+EF=DE;(2)改变△ADE的位置,使DE交BC的延长线于点F(如图②
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已知Rt△ABC≌Rt△ADE,其中∠ACB=∠AED=90°.
(1)将这两个三角形按图①方式摆放,使点E落在AB上,DE的延长线交BC于点F.求证:BF+EF=DE;
(2)改变△ADE的位置,使DE交BC的延长线于点F(如图②),则(1)中的结论还成立吗?若成立,加以证明;若不成立,写出此时BF、EF与DE之间的等量关系,并说明理由.
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(1)将这两个三角形按图①方式摆放,使点E落在AB上,DE的延长线交BC于点F.求证:BF+EF=DE;
(2)改变△ADE的位置,使DE交BC的延长线于点F(如图②),则(1)中的结论还成立吗?若成立,加以证明;若不成立,写出此时BF、EF与DE之间的等量关系,并说明理由.
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图①,连接AF,
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,BC=DE,
∵∠ACB=∠AEF=90°,AF=AF,
∴Rt△ACF≌Rt△AEF,
∴CF=EF,
∴BF+EF=BF+CF=BC,
∴BF+EF=DE;
(2)如图②,(1)中的结论不成立,有DE=BF-EF,理由是:![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_cb889b125a0a9478cd1eef9bb3cfb315.jpg)
连接AF,
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,BC=DE,
∵∠E=∠ACF=90°,AF=AF,
∴Rt△ACF≌Rt△AEF,
∴CF=EF,
∴DE=BC=BF-FC=BF-EF,
即DE=BF-EF.
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∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,BC=DE,
∵∠ACB=∠AEF=90°,AF=AF,
∴Rt△ACF≌Rt△AEF,
∴CF=EF,
∴BF+EF=BF+CF=BC,
∴BF+EF=DE;
(2)如图②,(1)中的结论不成立,有DE=BF-EF,理由是:
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连接AF,
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,BC=DE,
∵∠E=∠ACF=90°,AF=AF,
∴Rt△ACF≌Rt△AEF,
∴CF=EF,
∴DE=BC=BF-FC=BF-EF,
即DE=BF-EF.
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