求所有的质数p,q,r,使得等式p^3=p^2+q^2+r^2

Question

求所有的质数p,q,r,使得等式p^3=p^2+q^2+r^2

Answer 1

左边p偶数p=2 那么q^2+r^2=4 显然无解因为质数最小2
故p奇数 p^3-p^2=p^2+r^2 p^2+r^2=偶数,若p有偶数r也是偶数,这样 p^2（p-1）=8显然无解
所以pqr都是奇数质数
现在以模3分3k±1 3m
如果pqr不含3的倍数,那么必然可写成3k±1
p^3=3k1±1 p^2+q^2+r^2=3k2+3=3k3这样右边是3的倍数,左边不是,矛盾
所以pqr必然含有3
p=3显然q=r=3
p,r不等于3,就不是3的倍数 q=3 p^3=3k1±1 p^2+q^2+r^2=3k2+2不合题意
同理p,q不等于3也不行
p不等于3 q=r=3也不行
只有3 3 3