直角三角形三边是3、4、5,现在用一个正方形来完全覆盖住这个三角形,则问这个正方形的连长最少是多少?

Question

直角三角形三边是3、4、5,现在用一个正方形来完全覆盖住这个三角形,则问这个正方形的连长最少是多少?

Answer 1

设有rt△ABC,其边长AB=3,BC=4,AC=5,∠ABC=90°,欲用一最小的正方形DEFG覆盖住这个三角形,显然应该使三角形的小锐角顶点C与正方形某一顶点——D重合,而使B位于FG上,使A位于EF上,这时rt△AFB∽rt△BGD(C),∠ABF=∠BDG=α,那么
FB=3cosα,BG=4sinα,GD=4cosα,3cosα+4sinα=4cosα,得tanα=1/4,
于是cosα=4√17/17.正方形边长GD=4cosα=16√17/17≈3.88.（最小值）