设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，{Sn+nan}为常数列，则an=．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，{S_n+na_n}为常数列，则a_n=___．

Answer 1

∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，
∴S₁+1×a₁=1+1=2，
∵{S_n+na_n}为常数列，∴由题意知，S_n+na_n=2，
当n≥2时，S_n-1+（n-1）a_n-1=2
两式作差得（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
从而(a2)/(a1)•(a3)/(a2)…(an)/(an-1)=(1)/(3)•(2)/(4)…(n-1)/(n+1)，
∴an=(2)/(n(n+1))（n≥2），
当n=1时上式成立，
∴an=(2)/(n(n+1))．
故答案为：(2)/(n(n+1))．