如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且A1A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1，BC上，BQ=4．（1）若DP=23DD1，证明：PQ∥平面ABB1A1；（2）若P是D1D的中点，证明

Question

如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA₁=6，且A₁A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD₁，BC上，BQ=4．

（1）若DP=(2)/(3)DD₁，证明：PQ∥平面ABB₁A₁；
（2）若P是D₁D的中点，证明：AB₁⊥平面PBC．

Answer 1

证明：（1）在AA₁上取一点N，使得AN=(2)/(3)AA₁，
∵DP=(2)/(3)DD₁，且A₁D₁=3，AD=6，
∴PN

∥

.

(2)/(3)AD，又BQ

∥

.

(2)/(3)AD，
∴PN

∥

.

BQ，
∴四边形BQPN为平行四边形，
∴PQ∥BN，
∵BN⊂平面ABB₁A₁，PQ⊄ABB₁A₁．
∴PQ∥ABB₁A₁．…6分
（2）如图所示，取A₁A的中点M，连接PM，BM，PC，
∵A₁，A，D₁D是梯形的两腰，P是D₁D的中点，
∴PM∥AD，于是由AD∥BC知，PM∥BC，
∴P，M，B，C四点共面，
由题设可知，BC⊥AB，BC⊥A₁A，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∴BC⊥AB₁，①
∵tan∠ABM=(AM)/(AB)=(3)/(6)=(A1B1)/(A1A)=tan∠A₁AB₁，
∴∠ABM=∠A₁AB₁，
∴∠ABM+∠BAB₁=∠A₁AB₁+∠BAB₁=90°，
∴AB₁⊥BM，
再由①与BC∩BM=B，知AB₁⊥平面PBC．…12分