如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：

Question

如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．
（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；
（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=√(3)CD，请说明你的理由．

Answer 1

（1）∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．
∴∠BCE=90°，
又∵BC为直径，
∴∠BFC=∠CFE=90°，
∵∠FEC=∠CEB，
∴△CEF∽△BEC，
∴(CE)/(BE)＝(EF)/(CE)，
∵BE=15，CE=9，
即：(9)/(15)＝(EF)/(9)，
解得：EF=(27)/(5)；
（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠FCD，
同理：∠AFB=∠CFD，
∴△CDF∽△BAF；
②∵△CDF∽△BAF，
∴(CF)/(BF)＝(CD)/(BA)，
又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△BCF，
∴(CF)/(BF)＝(CE)/(BC)，
∴(CD)/(BA)＝(CE)/(BC)，
又∵AB=BC，
∴CE=CD；

（3）∵CE=CD，
∴BC=√(3)CD=√(3)CE，
在Rt△BCE中，tan∠CBE=(CE)/(BC)＝(1)/(√(3))，
∴∠CBE=30°，
故

CF

为60°，
∴F在直径BC下方的圆弧上，且

BF

=(2)/(3)

BC

．