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(2009•德化县质检)如图在直角坐标系中,A(-2,0),B(8,0),以AB为直径的半圆P与y轴交于点M,以AB为一边作正方形ABCD交y轴于E.(1)写出AB边的长;(2)连接CM,试说明直线CM是否与
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(2009•德化县质检)如图在直角坐标系中,A(-2,0),B(8,0),以AB为直径的半圆P与y轴交于点M,以AB为一边作正方形ABCD交y轴于E.
(1)写出AB边的长;
(2)连接CM,试说明直线CM是否与⊙P相切,说理理由;
(3)在x轴的正半轴上是否存在一点N,使得⊙N与⊙P、直线CP都相切?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)写出AB边的长;
(2)连接CM,试说明直线CM是否与⊙P相切,说理理由;
(3)在x轴的正半轴上是否存在一点N,使得⊙N与⊙P、直线CP都相切?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)易得正方形的边长等于点B的横坐标减去点A的横坐标.
(2)连接PC,PM,可利用勾股定理求得PC2长,CM2长,进而利用勾股定理可求得∠PMC=90°,那么是切线.
(3)注意分情况探讨内切,外切,点的不同位置等多种情况.
【解析】
(1)8-(-2)=10;
(2)连接PC、PM,AM、BM,
则∠AMB=90°(直径所对的圆周角等于90°),
故可得△AMO∽△MBO,
∵BC=10,PB=5,
∴CP2=BC2+PB2=125,
∵OA=2,OB=8,
∴OM2=OA•OB=16,
∴OM=4
∵EM=6,EC=8,
∴CM2=CE2+EM2=100;
∵CM2+MP2=PC2,
∴∠PMC=90°,
∴直线CM与OP相切;
(3)①当⊙N与直线CP相切,且与⊙P内切,在点P左边时;
设⊙N的半径为r1依题意知:
(CP-BC)2+r12=(5-r1)2;
又∵在Rt△PBC中,BC=10,PB=5,
∴PC=5
∴(5-10)2=r12=(5-r2)2解得r1=10-20,
∴ON1=28-10,
∴N(28-10);
②当⊙N与直线CP内切且与⊙P内切,但在点P右边时;
根据对称此时满足条件的圆的半径r2=r1=10-20>2
∴ON2=10-22,
∴N2(10-22,0);
③当⊙N与直线CP相切且与⊙P外切时;
设⊙N的半径为r3,依题意得,
(10+5)2+r32=(5+r3)2
解得r3=20+10
∴ON3=28+10,
∴N3(28+10,0).
(2)连接PC,PM,可利用勾股定理求得PC2长,CM2长,进而利用勾股定理可求得∠PMC=90°,那么是切线.
(3)注意分情况探讨内切,外切,点的不同位置等多种情况.
【解析】
(1)8-(-2)=10;
(2)连接PC、PM,AM、BM,
则∠AMB=90°(直径所对的圆周角等于90°),
故可得△AMO∽△MBO,
∵BC=10,PB=5,
∴CP2=BC2+PB2=125,
∵OA=2,OB=8,
∴OM2=OA•OB=16,
∴OM=4
∵EM=6,EC=8,
∴CM2=CE2+EM2=100;
∵CM2+MP2=PC2,
∴∠PMC=90°,
∴直线CM与OP相切;
(3)①当⊙N与直线CP相切,且与⊙P内切,在点P左边时;
设⊙N的半径为r1依题意知:
(CP-BC)2+r12=(5-r1)2;
又∵在Rt△PBC中,BC=10,PB=5,
∴PC=5
∴(5-10)2=r12=(5-r2)2解得r1=10-20,
∴ON1=28-10,
∴N(28-10);
②当⊙N与直线CP内切且与⊙P内切,但在点P右边时;
根据对称此时满足条件的圆的半径r2=r1=10-20>2
∴ON2=10-22,
∴N2(10-22,0);
③当⊙N与直线CP相切且与⊙P外切时;
设⊙N的半径为r3,依题意得,
(10+5)2+r32=(5+r3)2
解得r3=20+10
∴ON3=28+10,
∴N3(28+10,0).
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