求抛物线y=1-x2在（0，1）内的一条切线，使得它与两坐标轴和抛物线围成的图形面积最小．

Question

求抛物线y=1-x²在 （0，1）内的一条切线，使得它与两坐标轴和抛物线围成的图形面积最小．

Answer 1

设切线过抛物线上的点M（a，1-a²），则切线方程是y-（1-a²）=-2a（x-a）
它与两坐标轴的交点分别是A((a2+1)/(2a)，0)，B（0，a²+1），
从而围成的面积是S(a)=(1)/(2)((a2+1)2)/(2a)-

∫

1 0

(1-x2)dx=((a2+1)2)/(4a)-(2)/(3)
则S′(a)=(1)/(4a2)(a2+1)•(3a2-1)
令S′（a）=0，得到在[0，1]上的唯一驻点a=(√(3))/(3)
当a>(√(3))/(3)，S′（a）<0
当a>(√(3))/(3)，S′（a）>0                                   
因此a=(√(3))/(3)是S（a）在[0，1]上的唯一极小值点，即为最小点，
故所求切线方程是
y=-(2√(3))/(3)x+(4)/(3)