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求函数f(z)=arctanz在z=0的泰勒展开式
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求函数f(z)=arctanz在z=0的泰勒展开式
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答案和解析
f(z)=arctanz,你要是直接算n阶导数是算不出来的
先对f(z)求个导,得到f '(z)=1/(1+z^2)
然后因为1/(1-z)=1+z+z^2+.（这个是可以泰勒展开的,或者用无穷递缩等比数列）
所以f(z)=1/(1+z^2)=1-z^2+z^4-z^6+...
再对两边积分：arctanz= C+z-z^3/3+z^5/5-...
带入z=0时f=0,所以C=0
所以arctanz= z-z^3/3+z^5/5-...
有什么问题可以提问
先对f(z)求个导,得到f '(z)=1/(1+z^2)
然后因为1/(1-z)=1+z+z^2+.（这个是可以泰勒展开的,或者用无穷递缩等比数列）
所以f(z)=1/(1+z^2)=1-z^2+z^4-z^6+...
再对两边积分：arctanz= C+z-z^3/3+z^5/5-...
带入z=0时f=0,所以C=0
所以arctanz= z-z^3/3+z^5/5-...
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