如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/秒的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形ABCD的边长为1cm，FG=4cm，GH=3cm，设正方形移动的时间为x秒，且0≤x

Question

如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/秒的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形ABCD的边长为1cm，FG=4cm，GH=3cm，设正方形移动的时间为x秒，且0≤x≤2.5．
（1）直接填空：DG=______cm（用含x的代数式表示）；
（2）连结CG，过点A作AP∥CG交GH于点P，连结PD．
①若△DGP的面积记为S₁，△CDG的面积记为S₂，则S₁-S₂的值会发生变化吗？请说明理由；
②当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

Answer 1

（1）由题意可得出：DG=（4-x）；

（2）①答：S₁-S₂不会发生变化．
如图1，
∵AP∥CG，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠PGA=90°，
∴△CDG∽△PGA，
∴(DG)/(GA)＝(CD)/(PG)，即(3−x)/(4−x)＝(1)/(PG)，
∴PG＝(4−x)/(3−x)，
∵S1＝(1)/(2)DG×PG＝(1)/(2)(3−x)×(4−x)/(3−x)＝(1)/(2)(4−x)，
S2＝(1)/(2)DG×CD＝(1)/(2)(3−x)×1＝(1)/(2)(3−x)，
∴S1−S2＝(1)/(2)(4−x)−(1)/(2)(3−x)＝(1)/(2)．
②如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵直线PD⊥AC，
∴点P在对角线BD所在的直线上，
∴∠GDP=∠DPG=∠ADB=45°，
∴PG=DG，
即：(4−x)/(3−x)＝3−x，
整理得 x²-5x+5=0，
解得x1＝(5−√(5))/(2)，x2＝(5+√(5))/(2)，
经检验：x₁，x₂都是原方程的根，
∵0≤x≤2.5，
∴x＝(5−√(5))/(2)，
∴DG=PG=

作业帮用户 2017-10-13