（2012•苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行

Question

（2012•苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S₁，△CDG的面积为S₂．试说明S₁-S₂是常数；
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

Answer 1

（1）∵CG∥AP，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠AGP，
∴△GCD∽△APG，
∴(CD)/(GD)=(PG)/(AG)，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3-x，AG=4-x，
∴(1)/(3−x)=(y)/(4−x)，即y=(4−x)/(3−x)，
∴y关于x的函数关系式为y=(4−x)/(3−x)，
当y=3时，(4−x)/(3−x)=3，解得x=2.5，
经检验的x=2.5是分式方程的根．
故x的值为2.5；

（2）∵S₁=(1)/(2)GP•GD=(1)/(2)•(4−x)/(3−x)•（3-x）=(4−x)/(2)（cm²），
S₂=(1)/(2)GD•CD=(1)/(2)（3-x）×1=(3−x)/(2)（cm²），
∴S₁-S₂=(4−x)/(2)-(3−x)/(2)=(1)/(2)（cm²），即为常数；

（3）延长PD交AC于点Q．
∵正方形ABCD中，AC为对角线，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，
∴3-x=(4−x)/(3−x)，
化简得：x²-5x+5=0．
解得：x=(5±√(5))/(2)，
∵0≤x≤2.5，
∴x=(5−√(5))/(2)，
在Rt△DGP中，PD=

作业帮用户 2016-12-09 举报

问题解析

（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S₁、S₂，然后作差即可．
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度．

名师点评

本题考点：

正方形的性质；一元二次方程的应用；等腰直角三角形；矩形的性质；解直角三角形．

考点点评：

此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解．

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