已知函数．(I)讨论函数f(x)的单调性；(II)当a=0时，斜率为k的直线与曲线y=f(x)交于，两点，求证：．

Question

已知函数．
(I)讨论函数f(x)的单调性；
(II)当a=0时，斜率为k的直线与曲线y=f(x)交于，两点，求证：．____

Answer 1

【分析】(I)先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x)，讨论a的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0，即可求出函数f(x)的单调区间；
\n(II)欲证，将k用代换，转化成，即证，然后利用导数研究研究单调性即可证得．

(I)(x>0)
\n(1)a≥0时，>0恒成立，故f(x)在(0，+∞)上单调递增
\n(2)当a<0时，由，由
\n考虑到x>0，得f(x)在上单调递增，在上单调递减．
\n(II)a=0时，，
\n不等式，
\n令，即证(8分)
\n由于t>1，令g(t)=，
\n所以g(t)>g(1)=1，
\n即不等式成立，
\n令
\n即lnt<t-1，
\n所以，不等式1-成立，即得原不等式成立(14分)

【点评】本题主要考查了不等式的证明，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．