设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MN||AB|的最大值为．

Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则(|MN|)/(|AB|)的最大值为______．

Answer 1

设|AF|=a，|BF|=b，
由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤（(a+b)/(2)） ²，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-(3)/(4)（a+b）²=(1)/(4)（a+b）²
得到|AB|≥(1)/(2)（a+b）．
∴(|MN|)/(|AB|)≤1，即(|MN|)/(|AB|)的最大值为1．
故答案为：1