如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AB上，点Q在DC的延长线上，连接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于点G．（1）求证：DQ=PQ；（2）求AP•DQ的最大值；（3）若P为AB的中点，求PG的长．

Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AB上，点Q在DC的延长线上，连接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于点G．

（1）求证：DQ=PQ；
（2）求AP•DQ的最大值；
（3）若P为AB的中点，求PG的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABDF是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠APD=∠QDP．
∵∠APD=∠QPD，
∴∠QPD=∠QDP，
∴DQ=PQ．

（2）过点Q作QE⊥DP，垂足为E，则DE=(1)/(2)DP．
∵∠DEQ=∠PAD=90°，∠QDP=∠APD，
∴△QDE∽△DPA，
∴(DQ)/(DP)=(DE)/(AP)，
∴AP•DQ=DP•DE=(1)/(2)DP²．
在Rt△DAP中，有DP²=DA²+AP²=36+AP²，
∴AP•DQ=(1)/(2)（36+AP²），
∵点P在AB上，
∴AP≤4，
∴AP•DQ≤26，即AP•DQ的最大值为26．

（3）∵P为AB的中点，
∴AP=BP=(1)/(2)AB=2，
由（2）得，DQ=(1)/(4)（36+2²）=10．
∴CQ=DQ-DC=6．设CG=x，则BG=6-x，
由（1）得，DQ∥AB，
∴(CQ)/(BP)=(CG)/(BG)，
即(6)/(2)=(x)/(6-x)，
解得x=(9)/(2)，
∴BG=6-(9)/(2)=(3)/(2)，
∴PG=√(PB2+BG2)=(5)/(2)．