在锐角△ABC中,P为△ABC内任意一点PQ⊥AB于Q,PM⊥BC于M,PN⊥AC于N,设AQ=y,BQ=m,BM=x,CM=p,AN=n,CN=z,求x2+y2+z2与m2+n2+p2的关系

Question

在锐角△ABC中,P为△ABC内任意一点
PQ⊥AB于Q,PM⊥BC于M,PN⊥AC于N,设AQ=y,BQ=m,BM=x,CM=p,AN=n,CN=z,求x2+y2+z2与m2+n2+p2的关系

Answer 1

结论是：x²+y²+z²=m²+n²+p²
证明：连接PQ、PM、PN
根据勾股定理知：PQ²+m²=PB² 且x²+PM²=PB²
∴ x²+PM²=PQ²+m²……①
同理可证：y²+PQ²=PN²+n²……②
z²+PN²=p²+PM²……③
①+②+③记得：x²+y²+z²=m²+n²+p²