x→0,lim(x-arcsinx)/xsinxarctanx

Question

x→0,lim(x-arcsinx)/xsinxarctanx

Answer 1

在x趋于0的时候,
sinx和arcsinx都是等价于x的,
所以
原极限
=lim(x->0) (x-arcsinx) /x^3 使用洛必达法则,对分子分母同时求导
=lim(x->0) (x-arcsinx)' / (x^3)'
=lim(x->0) [1-1/√(1-x^2)] /3x^2
=lim(x->0) [√(1-x^2)-1] / 3x^2√(1-x^2) 分子分母同时乘以√(1-x^2)+1
=lim(x->0) (1-x^2 -1) / 3x^2√(1-x^2) * 1/[√(1-x^2)+1]
=lim(x->0) -1/ 3√(1-x^2) * 1/[√(1-x^2)+1] 代入x=0
= -1/ 3 *1/2
= -1/6
故极限值为 -1/6