求证：当x≥1时，arctanx-12arccos2x1+x2=π4．

Question

求证：当x≥1时，arctanx-(1)/(2)arccos(2x)/(1+x2)=(π)/(4)．

Answer 1

证明：令f(x)＝arctanx−(1)/(2)arccos(2x)/(1+x2)−(π)/(4)
则f（x）在[1，x]上连续，（1，x）内可导，
用拉氏定理，存在ξ∈（1，x）使f（x）-f（1）=f'（ξ）（x-1），
而f′(x)＝(1)/(1+x2)+(1)/(2)(1)/(√(1−(4x2)/((1+x2))))(2(1+x2)−4x2)/((1+x2)2)=(1)/(1+x2)+(1)/(2)•(1+x2)/(x2−1)•(2(1−x2))/((1+x2))≡0
所以f（x）=f（1）=0（x≥1）．