已知数列{an}中，a1=4，an=2an-1+2n（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求a2和a3的值；（Ⅱ）若数列{an+t2n}为等差数列，求实数t的值．

Question

已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂和a₃的值；
（Ⅱ）若数列{(an+t)/(2n)}为等差数列，求实数t的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=4，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*），
∴a₂=2a₁+2²=2×4+4=12；a₃=2a₂+2³=2×12+8=32（4分）
（Ⅱ）∵数列{(an+t)/(2n)}为等差数列，∴(a1+t)/(2)，(a2+t)/(22)，(a3+t)/(23)成等差数列，∴(4+t)/(2)+(32+t)/(8)＝2×(12+t)/(4)，解得t=0（8分）
当t=0时，(an+t)/(2n)＝(an)/(2n)，此时(an)/(2n)−(an−1)/(2n−1)＝(2an−1+2n)/(2n)−(an−1)/(2n−1)＝(2an−1+2n)/(2n)−(2an−1)/(2n)＝2（定值）
∴数列{(an)/(2n)}为首项为2，公差为2的等差数列，（11分）
∴t=0．（12分）