xIn(sinx)从0到π的积分怎么做

Question

xIn(sinx)从0到π的积分怎么做

Answer 1

令x＝π/2+t,计算得∫(0～π) xln(sinx)dx＝π∫(0～π/2) ln(cost)dt很显然,∫(0～π/2) ln(cost)dt＝∫(0～π/2) ln(sint)dt2∫(0～π/2) ln(cost)dt＝∫(0～π/2) ln(cost)dt ＋∫(0～π/2) ln(sint)dt＝∫(0～π/2) ln(1/2sin2t)dt＝1/2∫(0～π) ln(1/2sint)dt＝－πln2/2＋1/2∫(0～π) ln(sint)dt＝－πln2/2＋∫(0～π/2) ln(cost)dt所以,∫(0～π) ln(cost)dt＝－πln2/2所以,∫(0～π) xln(sinx)dx＝－ln2/2×π^2 －－其中,1/2∫(0～π) ln(sint)dt＝－πln2/2＋∫(0～π/2) ln(cost)dt：把0～π拆开,使用换元法即可