（三角形）已知P为等边三角形ABC内的一点,角BPC=110度,角BPA=x度,将三角形APB绕A点旋转得三角形ADC,使点P和D重合.1.求证三角形ADP为等边三角形.2.当x为多少时,三角形DPC为等腰三角形?

Question

（三角形）
已知P为等边三角形ABC内的一点,角BPC=110度,角BPA=x度,将三角形APB绕A点旋转得三角形ADC,使点P和D重合.
1.求证三角形ADP为等边三角形.
2.当x为多少时,三角形DPC为等腰三角形?

Answer 1

1、证明：
根据题意知：△APB≌△ADC
所以AP＝AD,∠BAP＝∠CAD,
所以∠BAP＋∠CAP＝∠CAD＋∠CAP
所以∠BAC＝∠PAD
因为ΔABC是等边三角形
所以∠BAC＝60
所以∠PAD＝60
所以△ADP是等边三角形
1)当DP＝DC时
因为DP＝AP,DC＝BP
所以PA＝PB
又因为PC＝PC,AC＝BC
所以△ACP≌△BCP
所以∠ACP＝∠BCP＝60/2＝30
因为∠BPC＝110
所以∠APC＝110
所以∠APB＝360－110*2＝140
即x＝140
2)当DP＝CP时
因为DP＝AP
所以PA＝PC
又因为PB＝PB,AB＝BC
所以△ABP≌△CBP
所以∠APB＝∠CPB＝110
即x＝110
3)当CP＝CD时
因为CD＝BP
所以CP＝BP
因为AP＝AP,AB＝AC
所以△ABP≌△ACP
所以∠APB＝∠APC
所以∠APB＝(360－110)/2＝125
即x＝125
综上所述,当x＝140或x＝110或x＝125时
△DPC是等腰三角形