设函数f(x)=x²,g(x)=x+lnx,是否存在常实数k,m,使得f(x)≥kx+m,g（x）≤kx+m?

Question

设函数f(x)=x²,g(x)=x+lnx,是否存在常实数k,m,使得f(x)≥kx+m,g（x）≤kx+m?

Answer 1

函数定义域x>0
h(x) = f(x)-g(x)
h'(x)=2x-1 -1/x,
另h'(x)=0,x=1
h(1)=0,f(1)=g(1)=1所以在点(1,1)处,f(1),g(1)相切,
那么y=kx+m应该为f(x),g(x)在此处的切线
f'(1)=2,f(1)=1,则切线为y=2x-1,即k=2,m=-1
下面证明：k=2,m=-1满足条件
f(x)-(2x-1)=(x-1)^2>=0,所以f(x)>=(2x-1)
令t(x)=(2x-1)-g(x),x>0
t'(x)=1-1/x,另t'(x)=0,x=1,x=1为极小值点
所以t(x)>=t(1)=0所以2x-1>=g(x)