已知函数f(x)=m^x+k*n^x(m>0,n>0,m、n不等于1,k属于R）(1)如果实数m,n满足m>1,mn=1,是否存在k是函数f（x）具有奇偶性,若存在求出k的值,若不存在说明理由.（2）如果m>1>n>0,k1>n>0,若对任意的x属于[0,正无

Question

已知函数f(x)=m^x+k*n^x(m>0,n>0,m、n不等于1,k属于R）
(1)如果实数m,n满足m>1,mn=1,是否存在k是函数f（x）具有奇偶性,若存在求出k的值,若不存在说明理由.
（2）如果m>1>n>0,k1>n>0,若对任意的x属于[0,正无穷）都有f(x)>0成立,求实数k的范围

Answer 1

1.f(-x)=m^(-x)+k*n^(-x)=(1/m)^x+k*(1/n)^x=n^x+k*m^x(由mn=1得出n=1/m,m=1/n)
若f(x)时奇函数,则
m^x+k*n^x=-n^x-k*m^x
(1+k)*n^x+(1+k)m^x=0
k=-1
若f(x)是偶函数,则
m^x+k*n^x=n^x+k*m^x
(1-k)m^x+(k-1)n^x=0
(1-k)(m^x-n^x)=0
k=1
所以k=1时,f(x)是偶函数,k=-1时,f(x)是奇函数
2.k=0时,f(x)=m^x+k*n^x>0恒成立
当k0
m^x>-k*n^x
上式两边取对数,得
xlnm>ln(-k)+xlnn
x(lnm-lnn)>ln(-k)
ln(m/n)^x>ln(-k)
(m/n)^x>-k
k>-(m/n)^x
若当x>=0时,上式恒成立,则k>-(m/n)^0=-1
所以k的范围是k>=-1