已知数列{an}的前n项和Sn=(-1)n+112n，如果存在正整数n，使得（p-an）（p-an+1）<0成立，则实数p的取值范围是．

Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=(-1)n+1 (1)/(2n)，如果存在正整数n，使得（p-a_n）（p-a_n+1）<0成立，则实数p的取值范围是___．

Answer 1

∵数列{a_n}的前n项和Sn=(-1)n+1(1)/(2n)，
∴a1=S1=(-1)2•(1)/(2)=(1)/(2)，
a₂=S₂-S₁=（-1）³(1)/(22)-(1)/(2)=-(3)/(4)，
又a2k=S 2k-S2k-1=-(1)/(22k)-(1)/(22k-1)=-(3)/(22k)<0，
a2k+1=S2k+1-S2k=(1)/(22k+1)+(1)/(22k)=(3)/(22k+1)>0，
由题意知数列{a_n}的奇数项为递减的等比数列且各项为正，
偶数项为递增的等比数列且各项为负，
∴不等式（p-a_n）（p-a_n+1）<0成立即存在正整数k使得a_2k<p<a_2k-1成立，
只需要a₂<a₄<…<a_2k<p<a_2k-1<…<a₃<a₁，
即-(3)/(4)=a2<P<a1=(1)/(2)即可，
故-(3)/(4)<p<(1)/(2)．即实数p的取值范围是（-(3)/(4)，(1)/(2)）．
故答案为：（-(3)/(4)，(1)/(2)）．