已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）如图2，若点P在线段AB的中点，

Question

已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB=BC，BP=BF，
∴AP=CF，
在△APE和△CFE中，
∵

AP=CF

∠P=∠F

PE=EF

，
∴△APE≌△CFE，
∴EA=EC；

（2）△ACE是直角三角形，理由是：
如图2，∵P为AB的中点，
∴PA=PB，
∵PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）设CE交AB于G，
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a，
∵PE∥CF，
∴(PE)/(BC)=(PG)/(GB)，即(b)/(a)=(a-b)/(2b-a)，
解得：a=√(2)b，
∴a：b=√(2)：1，
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG=(√(2))/(2)AG=(√(2))/(2)（2√(2)b-2b）=（2-√(2)）b，
又∵BG=2b-a=（2-√(2)）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．