如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x（1）CD的长度是否随着的x变化而变化？若变化，请用含的x

Question

如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x

（1）CD的长度是否随着的x变化而变化？若变化，请用含的x代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度；
（2）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．

Answer 1

（1）CD的长度不变化．
理由如下：
如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴(AB)/(CD)=(QB)/(QC)=(1)/(2)，
∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8；
（2）当△BAP∽△CDP时，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP=(BA)/(tan60°)=(4)/(√(3))=(4√(3))/(3)，
即x=(4√(3))/(3)；
如图2，当△BAP∽△PDC时，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP=(BA)/(tan30°)=(4)/((√(3))/(3))=4√(3)，
即x=4√(3)；
即当x=(4√(3))/(3)或4

作业帮用户 2018-01-02

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