如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．（1）求证：△APQ≌△Q

Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．
（1）求证：△APQ≌△QCE；
（2）求∠QAE的度数；
（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，
∵BP=BQ，
∴△PBQ是等腰直角三角形，AP=CQ，
∴∠BPQ=45°，
∵CE为正方形外角的平分线，
∴∠APQ=∠QCE=135°，
∵AQ⊥QE，
∴∠CQE+∠AQB=90°，
又∵∠PAQ+∠AQB=90°，
∴∠PAQ=∠CQE，
在△APQ和△QCE中，

∠PAQ＝∠CQE

AP＝CQ

∠APQ＝∠QCE

，
∴△APQ≌△QCE（ASA）；

（2）∵△APQ≌△QCE，
∴AQ=EQ，
∵AQ⊥QE，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴∠QAE=45°；

（3）如图，把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，
则AQ=AG，BQ=DG，∠BAQ=∠DAG，
∵∠QAE=45°，
∴∠GAF=45°，
∴∠GAF=∠QAF，
在△AQF和△AGF中，

AQ＝AG

∠GAF＝∠QAF

AF＝AF

，
∴△AQF≌△AGF（SAS），
∴QF=GF，
∵QF∥CE，
∴∠CQF=45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴CQ=CF，
∵BQ=x，
∴CQ=CF=2-x，
∴DF=2-（2-x）=x，
∴QF=GF=2x，
在Rt△CQF中，CQ²+CF²=QF²，
即（2-x）²+（2-x）²=（2x）²，
解得x=2-√(2)，
∴△AGF的面积=(1)/(2)×2（2-√(2)）×2=4-2√(2)，
即△AQF的面积为4-2√(2)．