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(2013•黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,点C在y轴上,∠ACB=90°,OA、OB的长分别是一元二次方程x2-25x+144=0的两个根(OA<OB),点D是线段BC上的一个动点(不与点B

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(2013•黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,点C在y轴上,∠ACB=90°,OA、OB的长分别是一元二次方程x2-25x+144=0的两个根(OA<OB),点D是线段BC上的一个动点(不与点B、C重合),过点D作直线DE⊥OB,垂足为E.
(1)求点C的坐标.
(2)连接AD,当AD平分∠CAB时,求直线AD的解析式.
(3)若点N在直线DE上,在坐标系平面内,是否存在这样的点M,使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)在Rt△AOC中,∠CAB+∠ACO=90°,在Rt△ABC中,∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠ACO=∠CBA,
∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴OC2=OA•OB,
∴OC=12,
∴C(0,12);

(2)在Rt△AOC和Rt△BOC中,
∵OA=9,OC=12,OB=16,
∴AC=15,BC=20,
∵AD平分∠CAB,
∵DE⊥AB,
∴∠ACD=∠AED=90°,
∵AD=AD,
∴△ACD≌△AED,
∴AE=AC=15,
∴OE=AE-OA=15-9=6,BE=10,
∵∠DBE=∠ABC,∠DEB=∠ACB=90°,
∴△BDE∽△BAC,
DE
AC
=
BE
BC

∴DE=
15
2

∴D(6,
15
2
),
设直线AD的解析式是y=kx+b,
∵过A(-9,0)和D点,代入得:
−9k+b=0
6k+b=
15
2

k=
1
2
,b=
9
2

直线AD的解析式是:y=
1
2
x+
9
2

(3)存在点M,使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形,
理由是:①
以BC为对角线时,作BC的垂直平分线交BC于Q,交x轴于F,在直线FQ上取一点M,使∠CMB=90°,则符合此条件的点有两个,
BQ=CQ=
1
2
BC=10,
∵∠BQF=∠BOC=90°,∠QBF=∠CBO,
∴△BQF∽△BOC,
BF
BC
=
BQ
OB

∵BQ=10,OB=16,BC=20,
∴BF=
25
2

∴OF=16-
25
2
=
7
2

即F(
7
2
,0),
∵OC=12,OB=16,Q为BC中点,
∴Q(8,6),
设直线QF的解析式是y=ax+c,
代入得:
作业帮用户 2017-10-02
问题解析
(1)证△AOC∽△COB,推出OC2=OA•OB,即可得出答案.
(2)求出OA=9,OC=12,OB=16,AC=15,BC=20,证△ACD≌△AED,推出AE=AC=15,证△BDE∽△BAC,求出DE=
15
2
,D(6,
15
2
),设直线AD的解析式是y=kx+b,过A(-9,0)和D点,代入得出
−9k+b=0
6k+b=
15
2
,求出k=
1
2
,b=
9
2
即可.
(3)存在点M,使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形,
理由是:①以BC为对角线时,作BC的垂直平分线交BC于Q,交x轴于F,在直线FQ上取一点M,使∠CMB=90°,则符合此条件的点有两个,证△BQF∽△BOC,求出BF=
25
2
,F(
7
2
,0),Q(8,6),设直线QF的解析式是y=ax+c,代入得出
6=8a+c
0=
7
2
a+c
,求出a=
4
3
,c=-
14
3
,得出直线FQ的解析式是:y=
4
3
x-
14
3
,设M的坐标是(x,
4
3
x-
14
3
),根据CM=BM和勾股定理得:(x-0)2+(
4
3
x-
14
3
-12)2=(x-16)2+(
4
3
x-
14
3
-0)2,即可求出M的坐标;②以BC为一边时,过B作BM3⊥BC,且BM3=BC=20,过M3Q⊥OB于Q,还有一点M4,CM4=BC=20,CM4⊥BC,证△BCO≌△M3BQ,求出BQ=CO=12,QM3=OB=16,求出M3的坐标,同法可求出M4的坐标.
名师点评
本题考点:
相似形综合题.
考点点评:
本题考查了一次函数的有关内容,相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,正方形的性质等知识点的综合应用,题目综合性比较强,难度偏大.
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