将一副三角板如图(1)拼好其中AB=AC=2a∠BAC=∠BCD=90°∠CBD=30°.若将ABC沿BC折起使二面角A-BC-D为直二面角如图(2).(1)求证:AB⊥平面ACD;(2)求二面角ABDC的大小;(3)求点C到平面ABD的距离.

Question

将一副三角板如图(1)拼好 其中AB=AC=2a ∠BAC=∠BCD=90° ∠CBD=30°.若将ABC沿BC折起 使二面角A-BC-D为直二面角 如图(2).

(1)求证:AB⊥平面ACD;

(2)求二面角ABDC的大小;

(3)求点C到平面ABD的距离.

Answer 1

(1)证明:由CD⊥BC及二面角A-BC-D为直二面角 得CD⊥面ABC ∴CD⊥AB AB⊥AC ∴AB⊥平面ACD. (2)解:如图 取BC中点E 则AE⊥平面BCD.作EF⊥BD 垂足为F 连结AF 则BD⊥AF ∠AFE即二面角ABDC的平面角.由AB=AC=2a ∴BC=a.∴AE=a.∴EF=BE=a.∴tan∠AFE=2.∴二面角A-BD-C的大小为arctan2.(3)解法一:(直接法)作EG⊥AF 垂足为G 由(2)知 BD⊥平面AEF ∴BD⊥GE.∴GE⊥平面ABD.∴GE的长即点E到平面ABD的距离 又E为BC的中点 ∴点C到平面ABD的距离等于2GE.由GE×AF=AE×EF 得GE= ∴所求距离为.解法二:(等体积法)∵VC—ABD=VA—BCD 可得点C到平面ABD的距离为.