如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°。（1）求证：△AOF∽△BEO；（2）求AF×BE的值；（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM×ON

Question

如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°。
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）求AF×BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM×ON的值；
（4）求线段EF长的最小值。（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时， x+y= 或x+ ）。

Answer 1

（1）∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，
又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE，
∴△AOF∽△BEO；
（2）∵△BOE∽△AOF，
∴ ，
∴ ；
（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b，
则易得ME=2-a，OD= ，
由已知条件易得：
△MOE∽△DOF ，
即OM·ON=2；
（4）EF=AB-AE-BF=
= ，
所以，当 ， a=b= 时，EF取得最小值 。