如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）在单位圆O上，∠xOA=α，且α∈（π6，π2）．（1）若cos（α+π3）=-1113，求x1的值；（2）若B（x2，y2）也是单位圆O上的点，且∠AOB=π3．过点A、B分别

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x₁，y₁）在单位圆O上，∠xOA=α，且α∈（(π)/(6)，(π)/(2)）．
（1）若cos（α+(π)/(3)）=-(11)/(13)，求x₁的值；
（2）若B（x₂，y₂）也是单位圆O上的点，且∠AOB=(π)/(3)．过点A、B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂．设f（α）=S₁+S₂，求函数f（α）的最大值．

Answer 1

（1）由三角函数的定义有x₁=cosα，
∵cos（α+(π)/(3)）=-(11)/(13)，α∈（(π)/(6)，(π)/(2)），∴sin(α+(π)/(3))＝(4√(3))/(13)，
∴x1＝cosα＝cos[(α+(π)/(3))−(π)/(3)]=cos(α+(π)/(3))cos(π)/(3)+sin(α+(π)/(3))sin(π)/(3)=−(11)/(13)•(1)/(2)+(4√(3))/(13)•(√(3))/(2)＝(1)/(26)．
（2）由y₁=sinα，得S1＝(1)/(2)x1y1＝(1)/(2)cosαsinα＝(1)/(4)sin2α．
由定义得x2＝cos(α+(π)/(3))，y2＝sin(α+(π)/(3))，
又 由α∈（<

作业帮用户 2016-12-16

问题解析

（1）由三角函数的定义有x₁=cosα，求得sin(α+

π

(π)/(3))＝(4√(3))/(13)，根据x1＝cosα＝cos[(α+(π)/(3))−(π)/(3)]，利用两角差的余弦公式计算求得结果．
（2）求得得S1＝(1)/(2)x1y1＝(1)/(2)cosαsinα＝(1)/(4)sin2α，S₂=−(1)/(4)sin(2α+(2π)/(3))．可得f(α)＝S1+S2＝(1)/(4)sin2α−(1)/(4)sin(2α+(2π)/(3))，化简为(√(3))/(4)sin（2α-(π)/(6)）．再根据 2α-(π)/(6)的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（α）取得最大值

名师点评

本题考点：

两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．

考点点评：

本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．

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