微积分：求证：y=(1+x)/(1+x^2)有位于同一直线上的三个拐点是将拐点全部求出来吗?那样的话我求不出啊

Question

微积分：求证：y=(1+x)/(1+x^2)有位于同一直线上的三个拐点
是将拐点全部求出来吗?那样的话我求不出啊

Answer 1

证明：∵y=(1+x)/(1+x²)
∴y'=(1-2x-x²)/(1+x²)²
y''=2(x³+3x²-3x-1)/(1+x²)³
令x³+3x²-3x-1=0,得x1=1,x2=(1+√3)/4,x3=(1-√3)/4
经验算x1,x2,x3都是函数y的拐点,
这3个拐点的坐标分别是A(1,1),B(√3-2,(1+√3)/4),C(-√3-2,(1-√3)/4).
∵A,B两点的斜率=[(1+√3)/4-1]/[(√3-2)-1]=1/4
A,C两点的斜率=[(1-√3)/4-1]/[(-√3-2)-1]=1/4
∴A,B两点的斜率=A,C两点的斜率
∴A,B,C三点在同一直线上
故y=(1+x)/(1+x^2)有位于同一直线上的三个拐点.