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线性代数的问题设A是三阶矩阵,且I+A,3I-A,I-3A均不可逆证明:(1)A是可逆矩阵(2)A与对角阵相似
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线性代数的问题
设A是三阶矩阵,且I+A,3I-A,I-3A均不可逆
证明:(1)A是可逆矩阵
(2)A与对角阵相似
设A是三阶矩阵,且I+A,3I-A,I-3A均不可逆
证明:(1)A是可逆矩阵
(2)A与对角阵相似
▼优质解答
答案和解析
(1)因为I+A,3I-A,I-3A均不可逆
所以取行列式:│I+A│=0,│3I-A│=0,│I-3A│=0
所以A有三个特征值:λ1=-1,λ2=3,λ3=1/3
而│A│=λ1λ2λ3=-1≠0
所以A是可逆矩阵.
(2)因为三阶矩阵A具有三个不同的特征值,所以A有三个线性无关的特征向量.所以存在一个由这三个线性无关组成的三阶可逆矩阵P,使得(P逆)AP=B,其中B为主对角线上为对应的三个特征值的对角矩阵.
第二个结论可以作为定理使用:n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A必可相似对角化.
所以取行列式:│I+A│=0,│3I-A│=0,│I-3A│=0
所以A有三个特征值:λ1=-1,λ2=3,λ3=1/3
而│A│=λ1λ2λ3=-1≠0
所以A是可逆矩阵.
(2)因为三阶矩阵A具有三个不同的特征值,所以A有三个线性无关的特征向量.所以存在一个由这三个线性无关组成的三阶可逆矩阵P,使得(P逆)AP=B,其中B为主对角线上为对应的三个特征值的对角矩阵.
第二个结论可以作为定理使用:n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A必可相似对角化.
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