∫a^xdx=(1/lna)a^x+c是怎么得到的

Question

∫a^xdx=(1/lna)a^x+c是怎么得到的

Answer 1

导数与积分是相反的过程
(a^x)' = a^x lna
a^x = lna ∫ a^x dx + C,两边积分
∫ a^x dx = (a^x)/lna + C
关于(a^x)' = a^x lna的推导：
y = a^x
y' = lim(Δx→0) [a^(x + Δx) - a^x]/Δx
= lim(Δx→0) (a^x a^Δx - a^x)/Δx
= a^x lim(Δx→0) (a^Δx - 1)/Δx
= a^x lim(Δx→0) [e^(Δxlna) - 1]/(Δxlna) * lna,公式lim(h→0) (e^h - 1)/h = 1
= a^x * (1) * lna
= a^x lna