已知线段OP=1，取OP的中点P1，取PP1的中点P2．（1）比较线段OPn与OPn-1的大小（n为大于1的整数）．（2）若OP=1m，则n从何值开始，线段Pn-1Pn

Question

已知线段OP=1，取OP的中点P₁，取PP₁的中点P₂．
（1）比较线段OP_n与OP_n-1的大小（n为大于1的整数）．
（2）若OP=1m，则n从何值开始，线段P_n-1P_n<1mm．

Answer 1

（1）∵线段OP=1，取OP的中点P₁，取PP₁的中点P₂，
∴OP₁=(1)/(2)，P₁P₂=(1)/(4)，P₂P₃=(1)/(8)，P₃P₄=(1)/(16)，
如图所示：当n为偶数时，OP_n>OP_n-1，
当n为奇数时，OP_nn-1；
（2）∵OP=1，则OP₁=(1)/(2)，P₁P₂=(1)/(4)=（(1)/(2)）²，P₂P₃=(1)/(8)=（(1)/(2)）³，P₃P₄=(1)/(16)=（(1)/(2)）⁴，
∴P_n-1P_n=（(1)/(2)）ⁿ，
∵OP=1m=1000mm，
∵1000×（(1)/(2)）ⁿ<1，
当n=10，（(1)/(2)）ⁿ=(1)/(1024)，
故n≥10时，线段P_n-1P_n<1mm．