如图，在射线BA、BC、AD、CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=63，O是射线BD上一点，O与BA、BC都相切、与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或线段AD）于点E、交线段BC（或线段CD）于点F．

Question

如图，在射线BA、BC、AD、CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6√(3)，O是射线BD上一点， O与BA、BC都相切、与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或线段AD）于点E、交线段BC（或线段CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G、H分别在围成菱形的另外两条线段上．

（1）求证：BO=2OM；
（2）当矩形EFGH的面积为24√(3)时，求 O的半径．

Answer 1

（1）如图1所示：设 O切AB于点P，连接OP，则∠OPB=90°．

∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD=(1)/(2)∠ABC=30°．
∴OB=2OP．
∵OP=OM，
∴BO=2OP=2OM．
（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴BD=2BQ=√(3)AB=18．
设 O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．
①如图2所示，当点E在AB上时．
在Rt△BEM中，EM=√(3) r．由对称性得：EF=2EM=2√(3)r，ND=BM=3r．
∴MN=18-6r．
∴S_矩形EFGH=EF•MN=2√(3)r（18-6r）=24√(3)．
解得：r₁=1，r₂=2．   
如图3所示：

点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18-3r．
由对称性可知：NB=MD=6．（根据图2知），
∴MB=3r=18-6=12．
解得：r=4．
综上所述， O的半径为1或2或4．