如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD，分别过C，D两点，作边BC，AD的垂线，设两条垂线的交点为P．求证：∠PAD=∠PBC．

Question

如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD，分别过C，D两点，作边BC，AD的垂线，设两条垂线的交点为P．
求证：∠PAD=∠PBC．

Answer 1

证明：如图：取AP，BP的中点分别为F，E；并连接DF，MF，EC，ME；
根据三角形的中位线定理得：MF=(1)/(2)BP=PE，ME=(1)/(2)AP=PF，
∴四边形MFPE为平行四边形
∴∠MFP=∠MEP，
∵PD⊥AD，PC⊥BC，
∴∠ADP=∠BCP=90°，
∴在Rt△APD与Rt△BPC中，
DF=AF=PF=(1)/(2)PA，CE=BE=PE=(1)/(2)BP，
∴DF=EM=PF，FM=PE=CE，
∵MC=MD，
∴△MDF≌△CME（SSS），
∴∠DFM=∠MEC，
∴∠DFP=∠CEP，
∴FA=FD，CE=BE，
∴∠DAF=∠FDA，∠ECB=∠CBE，
∴∠DFP=2∠DAP，∠CEP=2∠CBP，
∵∠DFP=∠CEP，
∴∠PAD=∠PBC．