证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

Question

证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

Answer 1

令：f（x）=xsinx+2cosx+πx，
f'（x）=sinx+xcosx-2sinx+π=xcosx-sinx+π；
于是有：f’（0）=π，f（π）=-π+0+π=0；
又：f''（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx；
显然当x∈（0，π）时，xsinx＞0；
因此：f''（x）=-xsinx＜0；
所以：函数f'（x）单调递减．
又：f’（0）=π，f（π）=0；
所以：当x∈（0，π）时，f’（x）＞f（π）=0，
因此：f（x）在x∈（0，π）单调递增，
所以：当0＜a＜b＜π时，f（b）＞f（a）；
即：bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．
命题得证．