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证明:当0<a<b<π时,bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
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证明:当0<a<b<π时,bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
▼优质解答
答案和解析
令:f(x)=xsinx+2cosx+πx,
f'(x)=sinx+xcosx-2sinx+π=xcosx-sinx+π;
于是有:f’(0)=π,f(π)=-π+0+π=0;
又:f''(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx;
显然当x∈(0,π)时,xsinx>0;
因此:f''(x)=-xsinx<0;
所以:函数f'(x)单调递减.
又:f’(0)=π,f(π)=0;
所以:当x∈(0,π)时,f’(x)>f(π)=0,
因此:f(x)在x∈(0,π)单调递增,
所以:当0<a<b<π时,f(b)>f(a);
即:bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
命题得证.
f'(x)=sinx+xcosx-2sinx+π=xcosx-sinx+π;
于是有:f’(0)=π,f(π)=-π+0+π=0;
又:f''(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx;
显然当x∈(0,π)时,xsinx>0;
因此:f''(x)=-xsinx<0;
所以:函数f'(x)单调递减.
又:f’(0)=π,f(π)=0;
所以:当x∈(0,π)时,f’(x)>f(π)=0,
因此:f(x)在x∈(0,π)单调递增,
所以:当0<a<b<π时,f(b)>f(a);
即:bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
命题得证.
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