设f（x）在[a，+∞）上单调递减，且无穷限积分+∞af（x）dx收敛．（1）证明f（x）≥0，x∈[a，+∞）；（2）证明f（x）=o（1x）（x→+∞）．

Question

设f（x）在[a，+∞）上单调递减，且无穷限积分

+∞

a

f（x）dx收敛．
（1）证明f（x）≥0，x∈[a，+∞）；
（2）证明f（x）=o（(1)/(x)）（x→+∞）．

Answer 1

证：（1）不妨设f（x）在[a，+∞）单调减少，若f（x）≤0（x∈[a，+∞））．
则∃x₁≥a，使f（x₁）＜0，则∀x＞x₁，有f（x）≤f（x₁）＜0．
从而∀p＞x₁，有

∫

p x1

f(x)dx≤

∫

p x1

f(x1)dx＝f(x1)(p−x1)→−∞(p→+∞)，
与

∫

+∞ a

f(x)dx收敛矛盾．
故f（x）≥0（x∈[a，+∞））．
（2）由

∫

+∞ a

f(x)dx收敛知

lim

x→+∞

∫

x (x)/(2)

f(t)dt＝0．
再由（1）得
0≤(x)/(2)f(x)≤

∫

x (x)/(2)

f(t)dt，我们有

lim

x→+∞

(x)/(2)f(x)＝0，
故

lim

x→+∞

xf(x)＝0，即f(x)＝o((1)/(x))(x→+∞)．