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已知函数f(x)=3|x-a|+|ax-1|,其中a∈R.(Ⅰ)当a=1时,写出函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)为偶函数,求实数a的值;(Ⅲ)若对任意的实数x∈[0,3],不等式f(x)≥3x|x-a|恒成立
题目详情
已知函数f(x)=3|x-a|+|ax-1|,其中a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,写出函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)为偶函数,求实数a的值;
(Ⅲ)若对任意的实数x∈[0,3],不等式f(x)≥3x|x-a|恒成立,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)当a=1时,写出函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)为偶函数,求实数a的值;
(Ⅲ)若对任意的实数x∈[0,3],不等式f(x)≥3x|x-a|恒成立,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)当a=1时,f(x)=3|x-a|+|ax-1|=4|x-1|,函数f(x)的减区间为(-∞,1),增区间为(1,+∞).
(Ⅱ)若函数f(x)为偶函数,一定有f(-1)=f(1)⇒3|1-a|+|a-1|=3|-1-a|+|-a-1|,解得a=0,经检验符合题意.
(Ⅲ)对任意的实数x∈[0,3],不等式f(x)≥3x|x-a|恒成立⇔对任意的实数x∈[0,3],(3-3x)|x-a|+|ax-1|≥0,
①当0≤x≤1时,(3-3x)|x-a|+|ax-1|≥0恒成立,a∈R
②当x∈(1,3]时,原不等式等价于|ax-1|≥|(3x-3)|x-a|
令g(x)=|(3x-3)(x-a)|,h(x)=|ax-1|
当a>1时,0<
≤1,由ax-1=(3x-3)(a-x),即3x2-(2a+3)x-1+3a=0,△=(2a+3)2-12(-1+3a)=0,a=
(另一根舍去),∴a>
;
a=1时,不满足h(3)>g(3);
0<a<1时,
>1,要使h(x)≥g(x),只要h(3)≥g(3),即-3a-1≥6(3-a),解得a≥
,舍去;
a≤0,要使h(x)≥g(x),只要h(3)≥g(3),即3a-1≥6(3-a),解得a≥
,舍去;
综上所述a>
.
(Ⅱ)若函数f(x)为偶函数,一定有f(-1)=f(1)⇒3|1-a|+|a-1|=3|-1-a|+|-a-1|,解得a=0,经检验符合题意.
(Ⅲ)对任意的实数x∈[0,3],不等式f(x)≥3x|x-a|恒成立⇔对任意的实数x∈[0,3],(3-3x)|x-a|+|ax-1|≥0,
①当0≤x≤1时,(3-3x)|x-a|+|ax-1|≥0恒成立,a∈R
②当x∈(1,3]时,原不等式等价于|ax-1|≥|(3x-3)|x-a|
令g(x)=|(3x-3)(x-a)|,h(x)=|ax-1|
当a>1时,0<
1 |
a |
6+
| ||
2 |
6+
| ||
2 |
a=1时,不满足h(3)>g(3);
0<a<1时,
1 |
a |
19 |
3 |
a≤0,要使h(x)≥g(x),只要h(3)≥g(3),即3a-1≥6(3-a),解得a≥
19 |
9 |
综上所述a>
6+
| ||
2 |
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