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已知函数f(x)=lnx-ax-1(a∈R),g(x)=xf(x)+12x2+2x.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)当a=1时,若函数g(x)在区间(m,m+1)(m∈Z)内存在唯一的极值点,求m的值.
题目详情
已知函数f(x)=lnx-ax-1(a∈R),g(x)=xf(x)+
x2+2x.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=1时,若函数g(x)在区间(m,m+1)(m∈Z)内存在唯一的极值点,求m的值.
1 |
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(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=1时,若函数g(x)在区间(m,m+1)(m∈Z)内存在唯一的极值点,求m的值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由已知得x>0,f′(x)=
-a=
,
(ⅰ)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)为增函数;
(ⅱ)当a>0时,由f'(x)>0,得0<x<
;
由f'(x)<0,得x>
;
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,
),单调递减区间为(
,+∞).
(Ⅱ)因为g(x)=xf(x)+
x2+2x=x(lnx-x-1)+
x2+2x=xlnx-
x2+x,
则g'(x)=lnx+1-x+1=lnx-x+2=f(x)+3.
由(Ⅰ)可知,函数g'(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
又因为g′(
)=-2-
+2=-
<0,g'(1)=1>0,
所以g'(x)在(0,1)上有且只有一个零点x1.
又在(0,x1)上g'(x)<0,g(x)在(0,x1)上单调递减;
在(x1,1)上g'(x)>0,g(x)在(x1,1)上单调递增.
所以x1为极值点,此时m=0.
又g'(3)=ln3-1>0,g'(4)=2ln2-2<0,
所以g'(x)在(3,4)上有且只有一个零点x2.
又在(3,x2)上g'(x)>0,g(x)在(3,x2)上单调递增;
在(x2,4)上g'(x)<0,g(x)在(x2,4)上单调递减.
所以x2为极值点,此时m=3.
综上所述,m=0或m=3.
1 |
x |
1-ax |
x |
(ⅰ)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)为增函数;
(ⅱ)当a>0时,由f'(x)>0,得0<x<
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a |
由f'(x)<0,得x>
1 |
a |
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,
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a |
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a |
(Ⅱ)因为g(x)=xf(x)+
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2 |
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2 |
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2 |
则g'(x)=lnx+1-x+1=lnx-x+2=f(x)+3.
由(Ⅰ)可知,函数g'(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
又因为g′(
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e2 |
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e2 |
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e2 |
所以g'(x)在(0,1)上有且只有一个零点x1.
又在(0,x1)上g'(x)<0,g(x)在(0,x1)上单调递减;
在(x1,1)上g'(x)>0,g(x)在(x1,1)上单调递增.
所以x1为极值点,此时m=0.
又g'(3)=ln3-1>0,g'(4)=2ln2-2<0,
所以g'(x)在(3,4)上有且只有一个零点x2.
又在(3,x2)上g'(x)>0,g(x)在(3,x2)上单调递增;
在(x2,4)上g'(x)<0,g(x)在(x2,4)上单调递减.
所以x2为极值点,此时m=3.
综上所述,m=0或m=3.
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