已知函数f（x）=lnx-ax-1（a∈R），g（x）=xf（x）+12x2+2x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．

Question

已知函数f（x）=lnx-ax-1（a∈R），g（x）=xf（x）+(1)/(2)x2+2x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得x>0，f′(x)=(1)/(x)-a=(1-ax)/(x)，
（ⅰ）当a≤0时，f'（x）>0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）为增函数；
（ⅱ）当a>0时，由f'（x）>0，得0<x<(1)/(a)；
由f'（x）<0，得x>(1)/(a)；
所以函数f（x）的单调递增区间为(0，(1)/(a))，单调递减区间为((1)/(a)，+∞)．
（Ⅱ）因为g(x)=xf(x)+(1)/(2)x2+2x=x(lnx-x-1)+(1)/(2)x2+2x=xlnx-(1)/(2)x2+x，
则g'（x）=lnx+1-x+1=lnx-x+2=f（x）+3．
由（Ⅰ）可知，函数g'（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
又因为g′((1)/(e2))=-2-(1)/(e2)+2=-(1)/(e2)<0，g'（1）=1>0，
所以g'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x₁．
又在（0，x₁）上g'（x）<0，g（x）在（0，x₁）上单调递减；
在（x₁，1）上g'（x）>0，g（x）在（x₁，1）上单调递增．
所以x₁为极值点，此时m=0．
又g'（3）=ln3-1>0，g'（4）=2ln2-2<0，
所以g'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x₂．
又在（3，x₂）上g'（x）>0，g（x）在（3，x₂）上单调递增；
在（x₂，4）上g'（x）<0，g（x）在（x₂，4）上单调递减．
所以x₂为极值点，此时m=3．
综上所述，m=0或m=3．