已知f(θ）=cos^2θ+2msinθ-2m-2,θ∈R.（1）对任意m∈R,求f（θ）的最大值g已知f(θ）=cos^2θ+2msinθ-2m-2,θ∈R.（1）对任意m∈R,求f（θ）的最大值g（m）；（2）若cos^2θ+2msinθ-2m-2

Question

已知f(θ）=cos^2θ+2msinθ-2m-2,θ∈R.（1）对任意m∈R,求f（θ）的最大值g
已知f(θ）=cos^2θ+2msinθ-2m-2,θ∈R.
（1）对任意m∈R,求f（θ）的最大值g（m）；
（2）若cos^2θ+2msinθ-2m-2

Answer 1

解1：
f(θ)=(cosθ)^2+2msinθ-2m-2
1、若cosθ=0,则sinθ=±1
f(θ)=±2m-2m-2
即：f(θ)=-2,或：f(θ)=-4m-2
当m∈(0,∞)时,g(m)=-2
当m∈(-∞,0]时,g(m)=-4m-2
2、若sinθ=0,则cosθ=±1
f(θ)=1-2m-2=-2m-1
显然,此时：g(m)=-2m-1
3、cosθ、sinθ≠0时
f'(θ)=-2cosθsinθ+2mcosθ
(1)若cosθ＞0
令：f'(θ)＞0,有：-2cosθsinθ+2mcosθ＞0,得：sinθ＜m,此时应有m∈(-1,1]
即：当-1≤sinθ＜m时,f(θ)是单调增函数；
令：f'(θ)＜0,有：-2cosθsinθ+2mcosθ＜0,得：sinθ＞m,此时应有m∈[-1,1)
即：当m＜sinθ≤1时,f(θ)是单调减函数.
可见：sinθ=m时,f(θ)取得最大值,
此时：(cosθ)^2=1-(sinθ)^2=1-m^2
g(m)=1-m^2+2m^2-2
g(m)=m^2-1
(2)若cosθ＜0
令：f'(θ)＞0,有：-2cosθsinθ+2mcosθ＞0,得：sinθ＞m,此时应有m∈[-1,1)
即：当m＜sinθ≤1时,f(θ)是单调增函数；
令：f'(θ)＜0,有：-2cosθsinθ+2mcosθ＜0,得：sinθ＜m,此时应有m∈(-1,1]
即：当-1≤sinθ＜m时,f(θ)是单调减函数.
此时f(θ)在sinθ=±1时,取得极大值.
就是前面1中讨论的情形.
此时：
当m∈(0,∞)时,g(m)=-2
当m∈(-∞,0]时,g(m)=-4m-2
综上所述：
1、当cosθ＞0时,g(m)=m^2-1
2、当cosθ≤0时：若m∈(0,∞)时,g(m)=-2；若m∈(-∞,0]时,g(m)=-4m-2.
解2：
(cosθ)^2+2msinθ-2m-2＜0
(sinθ)^2-2msinθ+(2m+1)＞0
不妨设sinθ=x,代入上式,有：
x^2-2mx+(2m+1)＞0
可见,左边是一个开口向上的抛物线,
只需该抛物线的顶点位于x轴之上即可.
抛物线顶点的y坐标是：[4×1×(2m+1)-(-2m)^2]/4×1=2m+1-m^2
即：2m+1-m^2＞0
m^2-2m-1＜0
(m-1)^2＜2
解得：1-√2＜m＜1+√2
即：m∈(1-√2,1+√2)