问一道线性代数的题目设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且秩r(A)=3,α1=(1,0,2,0)T,α2+α3=(0,2,3,4)T,c表示任意常数,则线性方程组Ax=b的通解X=(B).(A)(1,0,2,0)T+c(2,2,1,4)T(B)(1,0,

Question

问一道线性代数的题目
设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且秩 r(A) = 3,α1=(1,0,2,0)T,α2+α3=(0,2,3,4)T,c 表示任意常数,则线性方程组Ax=b的通解 X = ( B ) .
(A) (1,0,2,0)T+c(2,2,1,4)T (B) (1,0,2,0)T+c(2,-2,1,-4)T
(C) (1,0,2,0)T+c(2,-2,1,4)T (D) (1,0,2,0)T+c(0,2,3,4)T
为什么选B

Answer 1

首先α1为Ax=b的一个特解
下面只需要求Ax=0的通解就可以了
由r(A) = 3,而A是4阶矩阵,所以Ax=0的通解是1维线性空间,即基的个数为1
而α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量
所以α1-α2,α1-α3都是Ax=0的解向量
所以α1-α2+α1-α3=2α1-(α2+α3)也是Ax=0的解向量
2α1-(α2+α3)=(2,-2,1,-4)T
所以Ax=b的通解可以写成:α1+c*(2α1-(α2+α3))=(1,0,2,0)T+c(2,-2,1,-4)T