如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABD=∠CBD=60°，AC与BD相交于点E，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点F．（1）判断△ACD的形状，并加以证明（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的长．

Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABD=∠CBD=60°，AC与BD相交于点E，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点F．

（1）判断△ACD的形状，并加以证明
（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的长．

Answer 1

（1）∵∠ABD=∠CBD=60°，
∴∠CAD=∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD=60°，
∴△ACD是等边三角形；

（2）在△ACF与△DCE中，

∠CDE=∠FAC

∠ACF=∠ACD

AC=CD

∴△ACF≌△DCE，
∴AF=DE=4，CE=CF=2，
∵CF是⊙O的切线，
∴FC²=FB•AF，
∴2²=FB•4，
∴FB=1
∴AB=AF-BF=4-1=3，
∵∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，
∴△∠ABE∽∠DCE，
∴(AB)/(CD)=(BE)/(DE)=(AE)/(CE)=(CD-CE)/(CE)，
∴(3)/(CD)=(CD-2)/(2)，
解得：CD=3．