如图所示，一个内轨光滑外轨粗糙的圆形轨道竖直放置，圆心处有一个带正电的点电荷（内外轨相距很近，半径均可视为R），在轨道最低点放一个带负电的小球，质量为m，直径略小于内外

Question

如图所示，一个内轨光滑外轨粗糙的圆形轨道竖直放置，圆心处有一个带正电的点电荷（内外轨相距很近，半径均可视为R），在轨道最低点放一个带负电的小球，质量为m，直径略小于内外轨的距离，现给小球一个水平初速度v0＝√(2gR)，经过一段时间后，小球在P、Q之间来回往复运动不止，OP、OQ与竖直方向的夹角为θ=37°．（cos37°=0.8，sin37°=0.6）试求：
（1）小球能否通过最高点？
（2）小球与圆心点电荷的库仑力；
（3）整个过程中小球在最低点对外轨的最大压力；
（4）整个过程中小球克服摩擦所做的功W_f和库仑力所做的功W_k．

Answer 1

（1）假设没有摩擦力，则过程中机械能守恒，
因此由机械能守恒定律可知：(1)/(2)m(√(2gR))2＝mgh
解得：h=R，因此小球不可能到达最高点；
（2）根据经过一段时间后，小球在P、Q之间来回往复运动不止，则说明不再受到摩擦力作用，
则有当小球运动到最低点时，恰好由库仑力与重力提供向心力，
根据机械能守恒定律可得：mgR(1−cos37°)＝(1)/(2)mv2
解得：v²=0.4gR
再由牛顿第二定律可得：F−mg＝m(v2)/(R)
解得：F=1.4mg
（3）整个过程中小球在最低点速度最大时，则球对外轨的压力最大，
因此根据牛顿第二定律可得：F+N−mg＝m(v20)/(R)
解得：N=1.6mg
（4）由于库仑力与速度方向始终垂直，所以库仑力不做功．即W_库=0
再由动能定理对小球在整个过程中，则有Wf＝(1)/(2)m

v

2 0

−(1)/(2)mv2=0.8mgR
答：（1）小球不能否通过最高点；
（2）小球与圆心点电荷的库仑力为1.4mg；
（3）整个过程中小球在最低点对外轨的最大压力为1.6mg；
（4）整个过程中小球克服摩擦所做的功W_f为0.8mgR和库仑力所做的功W_k为零．