椭圆,双曲线中的三角形面积问题已知椭圆焦点F1,F2.和椭圆上一点P,三角形P,F1,F2的面积是S=b^2·tan（θ/2),这个公式是怎么推导的?同理双曲线的三角形面积公式是S=b^2·cot（θ/2),这个又是怎么推导

Question

椭圆,双曲线中的三角形面积问题
已知椭圆焦点F1,F2.和椭圆上一点P,三角形P,F1,F2的面积是S=b^2·tan（θ/2),这个公式是怎么推导的?同理双曲线的三角形面积公式是S=b^2·cot（θ/2),这个又是怎么推导的?

Answer 1

∠F1PF2=θ
记|F1P|=x |F2P|=y |F1F2|=z
由椭圆的定义
x+y=2a
z=2c
由余弦定理
x^2+y^2-2xycosθ=z^2
(x+y)^2-2xy(cosθ+1)=z^2
4a^2-2xy(cosθ+1)=4c^2
xy=2(a^2-c^2)/(cosθ+1)
xy=2b^2/(cosθ+1)
S=1/2*xy*sinθ
=1/2*[2b^2/(cosθ+1)]*sinθ
=b^2*sinθ/(cosθ+1)
[2倍角公式]
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/[2(cosθ)^2-1+1]
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)
同理
双曲线上任一点为p 设角F1PF2=n
4C（2）=PF1（2）+PF2（2）-2*PF1*PF2*Cosn
PF1-PF2=2a
4C（2）={PF1（2）-PF2(2)}(2)+2*PF1*PF2*(1-COSn)
4a(2)+4b(2)=4a(2)+2*PF1*PF2*(1-COSn)
2b(2)=PF1*PF2*(1-COSn)
S=1/2 *PF1*PF2*SINn
=1/2 *2b(2)/(1-COSn) *SINn
=b(2)Cot(n/2)