设双曲线xy=1的两支为C1，C2（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；（2）设P（-1，-1）在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．

Question

设双曲线xy=1的两支为C₁，C₂（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
（2）设P（-1，-1）在C₂上，Q、R在C₁上，求顶点Q、R的坐标．

Answer 1

（I）由S_n²−(n2+n−1)Sn−(n2+n)＝0
可得，[sn−(n2+n)]（s_n+1）=0
∵正项数列{a_n}，s_n＞0
∴s_n=n²+n
于是a₁=s₁=2
n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，而n=1时也适合
∴a_n=2n
（II）证明：由b n＝(n+1)/((n+2)2an2)=(n+1)/((n+2)2•4n2)=(1)/(16)[(1)/(n2)−(1)/((n+2)2)]
∴Tn＝(1)/(16)[1−(1)/(32)+(1)/(22)−(1)/(42)+…+(1)/((n−1)2)−(1)/((n+1)2)+(1)/(n2)−(1)/((n+2)2)]
=(1)/(16)[1+(1)/(4)−(1)/((n+1)2)−(1)/((n+2)2)]
＜(1)/(16)(1+(1)/(4))＝(5)/(64)